GCE O/L Pythagoras Theorem Short Note - පයිතගරස් ප්රමේයය Short Note
ගණිතයේ දී පයිතගරස් ප්රමේයය යනු ජ්‍යාමිතියේ සෘජුකෝණී ත්‍රිකෝණයක පාද තුන අතර සම්බන්ධයකි. සාම්ප්‍රදායිකව මෙම ප්රමේයය සොයා ගෙන සාධනය කළා යැයි සැලකෙන ග්‍රීක ජාතික ගණිතඥයකු වන පයිතගරස් හට ගෞරවයක් ලෙස පයිතගරස් ප්‍රමේය ලෙස නම් කළ ද ඔහුට ප්‍රථමයෙන් මෙම ප්රමේයය භාවිතයේ තිබී ඇති බවට සාක්ෂි ඇත.නමුත් මෙය විදයත්මකව ඔප්පුකර ලොවට හදුන්වා දුන් නිස එය සොයා ගැනිමෙ ගෞරවය පයිතගරස්ට හිමිවේ..
ප්රමේයය පහත පරිදි ද ඉදිරිපත් කළ හැක.
සෘජුකෝණී ත්‍රිකෝණයක කර්ණය (සෘජු කෝණයට සම්මුඛ පාදය) පාදයක් වන සමචතුරස්‍රයේ වර්ගඵලය ඉතිරි පාද දෙක (සෘජු කෝණයේ දී හමුවන පාද) පාද වශයෙන් වූ සමචතුරස්‍ර දෙකෙහි වර්ගඵලවල ඓක්‍යයට සමාන වේ. එය පහත පරිදි සැකෙවින් දැක්විය හැක. කර්ණයේ වර්ගය ඉතිරි පාද දෙකෙහි වර්ගවල ඓක්‍යයට සමාන වේ. කර්ණයේ දිග c ලෙස ද ඉතිරි පාද දෙකෙහි දිගවල් a හා b ලෙස ද ගත් විට පයිතගරස් ප්රමේයය පහත පරිදි සමීකරණයකින් ප්‍රකාශ කළ හැක.
හෝ c සඳහා විසඳුම ලෙස,
මෙම සමීකරණය මගින් සෘජුකෝණී ත්‍රිකෝණයක පාදවල දිග අතර සම්බන්ධයක් ලබා දේ. එනම් සෘජුකෝණී ත්‍රිකෝණයක පාද දෙකක දිග දන්නේ නම් ඉතිරි පාදයේ දිග සොයාගත හැක. ඕනෑම ත්‍රිකෝණයක පාද දෙකක දිග හා එම පාද දෙක අතර කෝණය දන්නේ නම් ඉතිරි පාදයේ දිග සොයා ගැනීමට භාවිතා කරන කෝසයින නීතිය පයිතගරස් ප්‍රමේයයේ සාධාරණීකරනයකි. පාද අතර කෝණය සෘජු කෝණයක් වූ විට කොසයින නීතිය පයිතගරස් ප්රමේයය බවට ඌනනය වේ.
ප්‍රමේයයෙහි ප්‍රතිවිපාක සහ ප්‍රයෝජන
පයිතගර ත්‍රිත්ව
පයිතගර ත්‍රිත්වය 
ලෙස වන a, b, සහ c යන ධන නිඛිල තුනකින් සමන්විත වේ. වෙනත් ආකාරයකින් සඳහන් කරන්නේ නම් පයිතගරස් ත්‍රිත්වය මගින් සියලු පාදවල දිග ධන නිඛිලවන සෘජුකෝණී ත්‍රිකෝණයක පාදයන්හි දිග නිරූපණය කරයි. උතුරු යුරෝපයේ විශාල ශිලා ස්මාරකවල සාක්ෂි මගින් ලිවීම සොයා ගැනීමටත් පෙර මෙවැනි ත්‍රිත්ව දැන සිටි බවට සාක්ෂි දක්නට ලැබේ. මෙවැනි ත්‍රිත්වයක් පොදුවේ (a, b, c) ලෙස ලියනු ලැබේ. (3, 4, 5) හා (5, 12, 13) ඉතා හොඳින් හඳුනන නිදසුන් වේ.
ලෙස වන a, b, සහ c යන ධන නිඛිල තුනකින් සමන්විත වේ. වෙනත් ආකාරයකින් සඳහන් කරන්නේ නම් පයිතගරස් ත්‍රිත්වය මගින් සියලු පාදවල දිග ධන නිඛිලවන සෘජුකෝණී ත්‍රිකෝණයක පාදයන්හි දිග නිරූපණය කරයි. උතුරු යුරෝපයේ විශාල ශිලා ස්මාරකවල සාක්ෂි මගින් ලිවීම සොයා ගැනීමටත් පෙර මෙවැනි ත්‍රිත්ව දැන සිටි බවට සාක්ෂි දක්නට ලැබේ. මෙවැනි ත්‍රිත්වයක් පොදුවේ (a, b, c) ලෙස ලියනු ලැබේ. (3, 4, 5) හා (5, 12, 13) ඉතා හොඳින් හඳුනන නිදසුන් වේ.100 දක්වා වූ මූලික පයිතගරස් ත්‍රිත්ව ලැයිස්තු‍ව පහත පරිදි වේ.
( 3, 4, 5), ( 5, 12, 13), ( 7, 24, 25), ( 8, 15, 17), ( 9, 40, 41), (11, 60, 61), (12, 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29), (28, 45, 53), (33, 56, 65), (36, 77, 85), (39, 80, 89), (48, 55, 73), (65, 72, 97)
අපරිමේය සංඛ්‍යාවල පැවැත්ම
පයිතගරස් ප්‍රමේයයෙහි එක් ප්‍රතිඵලයක් වන්නේ දෙකෙහි වර්ග මූලය (
) වැනි අපරිමේය සංඛ්‍යා ගොඩනැගිය හැකි වීමයි. බද්ධ පාද දෙකෙහිම දිග ඒකක එකක් වන සෘජු කෝණී ත්‍රිකෝණයක ක දිගක් ඇති විකර්ණයක් ඇත. පයිතගරස් හා ඔහුගේ අනුගාමිකයන් අපරිමේය බව සාධනය කළ අතර අද එය අප අතරට ද පැමිණ තිබේ. නමුත් ඔවුන්ගේම දැඩි විශ්වාසයට මෙය පටහැනි විය. පුරා වෘත්තාන්තවලට අනුව ප්‍රථමයෙන්ම වර්ගමූල දෙක අපරිමේය යැයි සාධනය කළ හිපාසස් (Hippasus) කළ වරදට දඬුවම් ලෙස මුහුදේ ගිල්වා මරා දමන ලදී
) වැනි අපරිමේය සංඛ්‍යා ගොඩනැගිය හැකි වීමයි. බද්ධ පාද දෙකෙහිම දිග ඒකක එකක් වන සෘජු කෝණී ත්‍රිකෝණයක ක දිගක් ඇති විකර්ණයක් ඇත. පයිතගරස් හා ඔහුගේ අනුගාමිකයන් අපරිමේය බව සාධනය කළ අතර අද එය අප අතරට ද පැමිණ තිබේ. නමුත් ඔවුන්ගේම දැඩි විශ්වාසයට මෙය පටහැනි විය. පුරා වෘත්තාන්තවලට අනුව ප්‍රථමයෙන්ම වර්ගමූල දෙක අපරිමේය යැයි සාධනය කළ හිපාසස් (Hippasus) කළ වරදට දඬුවම් ලෙස මුහුදේ ගිල්වා මරා දමන ලදීකාටිසීය ඛණ්ඩාංකවල දුර
කාටිසීය ඛණ්ඩාංකවල දුර පයිතගරස් ප්‍රමේයයෙන් ව්‍යුත්පන්න කරයි. (x0, y0) හා (x1, y1) යනු තලයක වූ ලක්ෂ්‍ය නම් එවිට එම ලක්ෂ්‍ය දෙක අතර දුර ,
මගින් දෙනු ලබයි.
පොදු වශයෙන් ගත් කල, නිදහස් n-අවකාශයෙහිදී, 
සහ 
යන ලක්ෂ්‍යය දෙකක් අතර නිදහස්දුර අර්ථදැක්වෙන්නේ, පහත අයුරු පයිතගරස් ප්රමේයය සාධාරණ සමිකරනය යෙදිමෙනි
සහ යන ලක්ෂ්‍යය දෙකක් අතර නිදහස්දුර අර්ථදැක්වෙන්නේ, පහත අයුරු පයිතගරස් ප්රමේයය සාධාරණ සමිකරනය යෙදිමෙනි
supeer
ReplyDelete